Modsigelse (kontradiktion): definition, eksempler og logik
Lær hvad en modsigelse (kontradiktion) er: klar definition, klassiske eksempler (spyd og skjold) og de grundlæggende logiske principper fra Aristoteles forklaret enkelt.
En modsigelse er, når der er to eller flere udsagn, som ikke alle kan være sande på samme tid. Mere præcist taler man i logikken om en modsigelse, når et udsagn og dets negation forekommer sammen — dvs. en påstand "A" samtidig med "ikke A". I klassisk logik kan en sådan kombination aldrig være sand; den er nødvendigvis falsk eller fører til inkonsistens i et system.
En historie, der viser, hvad en modsigelse er, kommer fra Kina. I denne historie er der en købmand, som sælger både spyd og skjolde. Han siger, at hans spyd er så skarpe, at de kan bryde igennem ethvert skjold. Samtidig siger han, at hans skjolde er så stærke, at de kan blokere ethvert spyd. Dette er en selvmodsigelse, fordi disse to udsagn ikke begge kan være sande. Enten vil spyddet bryde skjoldet eller skjoldet vil blokere spyddet, men ikke begge dele. Af denne grund er ordet for modsigelse på kinesisk máodùn (矛盾), som bogstaveligt talt betyder "spyd og skjold". Historien illustrerer, at modsigelser afslører en logisk umulighed eller en fejl i ræsonnementet.
Aristoteles og loven om ikke-modsigelse
I Aristoteles' logik hedder det, at to modstridende sætninger ikke begge kan være sande. Dette er ofte formuleret som loven om ikke-modsigelse: "Det er umuligt, at noget både er og ikke er på samme tid og i samme henseende." For eksempel udelukker sætningerne "A er B" og "A er ikke B" hinanden gensidigt. F.eks. kan udsagnene "Paven er katolik" og "Paven er ikke katolik" ikke begge være sande. Kun den ene af udsagnene er sandt, og ikke den anden.
Modsigelse i formel logik
I propositional logik beskrives en modsigelse ofte som en sammensat formel A ∧ ¬A (A og ikke A). En sådan formel er altid falsk for enhver tildeling af sandhedsværdier — den er en logisk umulighed. Man bruger undertiden symbolet ⊥ (falsum) for at betegne en direkte modsigelse eller en formel, der altid er falsk.
- Eksempel: Hvis udsagnet P er "Det regner", så er P ∧ ¬P en modsigelse.
- Eksplosion-princippet (ex falso quodlibet): I klassisk logik medfører en modsigelse (et inkonsistent sæt udsagn), at man i princippet kan slutte hvad som helst — hvis et system er inkonsistent, er det trivialt, fordi både et udsagn og dets negation kan udledes.
Forskelle og nært beslægtede begreber
- Modsigelse (kontradiktion): et udsagn og dets negation (A og ikke-A). De kan ikke begge være sande, og de kan ikke begge være falske.
- Motsætning (contrary): to udsagn, der ikke kan være sande samtidig, men som godt kan være falske samtidig. F.eks. "Alle svaner er hvide" og "Ingen svaner er hvide" kan ikke begge være sande, men begge kan være falske, hvis nogle svaner er hvide og nogle ikke.
- Inkonsistens: et sæt udsagn kaldes inkonsistent, hvis det indeholder en modsigelse. Et inkonsistent system kan i klassisk logik føre til, at alle udsagn bliver beviselige (trivialitet).
Praktiske eksempler
- Vidneudsagn: To øjenvidner, der fremsætter direkte modsatrettede beskrivelser af samme begivenhed, giver en modsigelse, som må afklares ved undersøgelse eller ved at finde fejl i forudsætningerne.
- Sproglige selvmodsigelser: Sætninger som "Denne sætning er falsk" (det såkaldte løgnerparadoks) involverer modsigelsesproblemer og førte til meget forskning inden for semantik og formel logik.
- Matematik og teori: Hvis en matematisk teori både beviser en påstand og dens negation, er teorien inkonsistent og mistænkes for fejl i aksiomer eller beviser.
Hvordan håndterer man modsigelser?
- Fejlretning: Identificere og rette forkerte antagelser, tvetydigheder eller fejlslutninger, så modsigelsen forsvinder.
- Revision af axiomer: I formelle teorier kan man ændre eller fjerne problematiske aksiomer for at genoprette konsistens.
- Parakonsistent logik: Der findes alternative logiske systemer (parakonsistente logikker), som tillader at acceptere visse modsigelser uden, at alt følger deraf — altså uden eksplosion. Sådanne logikker bruges, når man ønsker at modellere inkonsistente, men nyttige informationssæt.
Kort sagt er modsigelse (kontradiktion) et centralt begreb i både almindelig ræsonnement og formel logik: det markerer, hvor noget går galt i en argumentation eller teori, og forståelsen af modsigelser hjælper med at sikre klarhed, konsistens og gyldighed i tænkning og bevisførelse.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er en modsigelse?
A: En modsigelse er, når der er to eller flere udsagn, som ikke alle kan være sande på samme tid.
Spørgsmål: Hvad er et selvmodsigende udsagn?
Svar: Et selvmodsigende udsagn er et udsagn, der angiver en modsigelse i logikken, og det betegnes undertiden med symbolet "⊥" eller "0".
Spørgsmål: Kan et spyd bryde igennem ethvert skjold og et skjold blokere ethvert spyd på samme tid?
Svar: Nej, det er en modsigelse, fordi disse to udsagn ikke begge kan være sande.
Spørgsmål: Hvad er ordet for modsigelse på kinesisk?
Svar: Ordet for modsigelse på kinesisk er máodùn (矛盾), som bogstaveligt talt betyder "spyd og skjold".
Spørgsmål: Kan to modstridende sætninger ifølge Aristoteles' logik begge være sande?
Svar: Nej, to modstridende sætninger kan ikke begge være sande.
Spørgsmål: Er udsagnene "A er B" og "A er ikke B" gensidigt udelukkende?
Svar: Ja, udsagnene "A er B" og "A er ikke B" udelukker hinanden, hvilket betyder, at kun det ene og ikke begge udsagn kan være sande.
Spørgsmål: Kan "paven er katolik" og "paven er ikke katolik" begge være sande?
Svar: Nej, kun et af udsagnene, og ikke det andet, er sandt.
Søge