Monty Hall-problemet: Forklaring og sandsynlighed med 3 døre
Forstå Monty Hall-problemet: hvorfor det betaler sig at bytte valg — sandsynlighed forklaret med 3 døre, klare eksempler og hvorfor chancen går fra 1/3 til 2/3.
Monty Hall-problemet er et berømt problem inden for sandsynlighed (tilfældighed). Problemet er baseret på et tv-spilprogram fra USA, Let's Make a Deal, og er opkaldt efter værten Monty Hall.
Situationen i standardudgaven er enkel: Der er tre døre. Bag én dør står der en bil (høj værdi) og bag de to andre døre står der geder (lav værdi). Spilleren vælger først én af de tre døre uden at åbne den. Værten, som ved hvad der er bag alle dørene, åbner derefter en anden dør, som han ved har en ged bag sig (hvis spilleren i første omgang valgte bilen, vælger værten tilfældigt mellem de to gededøre). Til sidst får spilleren mulighed for at blive ved sin oprindelige dør eller skifte til den tredje, endnu lukkede dør. Reglerne i problemet antager normalt, at værten altid åbner en gededør og altid tilbyder spilleren at skifte. Spørgsmålet er: Øger det chancen for at vinde bilen, hvis spilleren skifter?
Svaret og intuitiv forklaring
Det rigtige svar under de normale antagelser er: Ja — hvis spilleren skifter, stiger sandsynligheden for at vinde bilen fra 1/3 til 2/3.
En enkel intuition: Da spilleren i første valg har 1/3 chance for at vælge bilen, er der samtidig samlet 2/3 chance for, at bilen står bag en af de to andre døre. Når værten åbner en af de andre døre og viser en ged, flyttes ikke den samlede 2/3‑sandsynlighed væk — den ligger stadig på "de to døre, som ikke var dit første valg". Når værten har fjernet en af disse (vist en ged), ligger hele den samlede 2/3‑sandsynlighed på den ene lukkede dør, som du kan skifte til. Derfor giver skift en 2/3 chance for gevinst, mens at blive ved dit oprindelige valg kun giver 1/3.
Trigående opstilling (eksempler)
Et klart regneeksempel med tre døre (kaldet A, B, C):
- Hvis bilen er bag A og du vælger A (sandsynlighed 1/3): værten åbner enten B eller C (ged). Hvis du skifter, taber du (du får ged).
- Hvis bilen er bag B og du vælger A (sandsynlighed 1/3): værten åbner C (ged). Hvis du skifter til B, vinder du bilen.
- Hvis bilen er bag C og du vælger A (sandsynlighed 1/3): værten åbner B (ged). Hvis du skifter til C, vinder du bilen.
Af de tre lige sandsynlige scenarier vinder du ved skift i to af dem → sandsynlighed 2/3.
Alternativ forklaring med betinget sandsynlighed
Lad S være hændelsen "spilleren skifter" og B være hændelsen "bilen er bag den anden lukkede dør". Vi ønsker P(B | værten åbnede ged), men under reglen "værten åbner altid en ged og tilbyder skift" ændres ikke de oprindelige sandsynligheder: P(dit første valg har bilen) = 1/3, P(bilen er i de to andre) = 2/3. Når værten fjerner en ged fra de to andre, forbliver 2/3 sandsynligheden på den ene resterende lukkede dør, altså P(B) = 2/3.
Ofte stillede spørgsmål og forbehold
- Hvad hvis værten ikke altid åbner en ged eller ikke altid tilbyder at skifte? Så ændres sandsynlighederne, og løsningen ovenfor gælder ikke nødvendigvis. Hvis værten nogle gange kan åbne bilen eller kun nogle gange tilbyder skift, må man tage højde for værtsstrategien for at beregne korrekte betingede sandsynligheder.
- Hvad hvis værten vælger tilfældigt mellem de to andre døre, også selvom han kunne vise bilen? Hvis værten tilfældigt vælger en af de to ikke-valgte døre og nogle gange dermed afslører bilen, ændrer spillets regler sig radikalt — situationen skal modelleres anderledes.
- Generaliseret version: Hvis der er n døre, vælger spilleren én og værten åbner n−2 gededøre, så er sandsynligheden for at bilen ligger bag den ene lukkede dør, som ikke var dit oprindelige valg, lig med (n−1)/n. Det vil sige: jo flere døre, desto større fordel ved at skifte.
Praktisk måde at forstå det på
Prøv en simulation: Gentag spillet 100 eller 1000 gange, og vælg konsekvent enten at skifte eller blive ved første valg. Du vil se, at strategien "skift" vinder cirka 2/3 af gangene, mens "bliv" vinder cirka 1/3 af gangene.
Sammenfattende: Under de sædvanlige antagelser (værten ved hvor bilen er, åbner altid en gededør og tilbyder skift) er det matematisk bedst at skifte — det fordobler dine chancer for at vinde bilen fra 1/3 til 2/3.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er Monty Hall-problemet?
A: Monty Hall-problemet er et berømt sandsynlighedsproblem (tilfældighedsproblem) baseret på et tv-spilprogram fra USA, Let's Make a Deal. Det drejer sig om tre døre, hvoraf den ene har en bil bag sig, og to har geder bag sig.
Spørgsmål: Hvad ved værten?
Svar: Værten ved, hvad der er bag hver dør, og vælger altid at åbne en dør med en ged bagved.
Spørgsmål: Øger skiftende valg chancerne for at få bilen?
Svar: Ja, ved at ændre valgmulighederne øges chancerne for at få bilen fra 1/3 (en ud af tre) til 2/3 (to ud af tre).
Spørgsmål: Hvordan fungerer denne sandsynlighed?
A: Ved det første dørvalg er der kun en 1/3 chance for, at spilleren vælger døren med bilen. Der er så en 2/3 chance for, at hvis de skifter deres valg efter at have set en af de andre døre blive åbnet af værten, vil de få en bil.
Spørgsmål: Er alle valgmuligheder lige store med hensyn til at vinde eller tabe?
A: Nej, der er tre forskellige muligheder for at vinde eller tabe, afhængigt af om man ændrer sit valg efter at have set en af de andre døre blive åbnet af værten. Hvis du vælger rigtigt i første omgang og derefter ændrer dit valg, taber du; hvis du vælger forkert i første omgang, men ændrer dit valg bagefter, vinder du; og hvis du vælger rigtigt i første omgang, men ikke ændrer dit valg bagefter, vinder du også.
Spørgsmål: Er det sandt, at hvis man skifter, øges chancerne for at vinde to ud af tre gange?
A: Ja, det er sandt, at hvis du skifter, øges dine chancer for at vinde to ud af tre gange.
Søge