Sinusloven: definition, formel og anvendelser i trekantsberegning

Sinusloven: klar guide til formel, triangulering, håndtering af tvetydige tilfælde og praktiske anvendelser ved beregning af sider og vinkler i trekanter.

Forfatter: Leandro Alegsa

Sinusreglen eller sinusloven er en sætning i matematik. Den siger, at hvis man har en trekant som den på billedet, er nedenstående ligning sand.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}}\,=\,D\! } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Dette er en anden version, som også er sand.

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\frac {\sin A}{a}}}\,=\,{\frac {\frac {\sin B}{b}}}\,=\,{\frac {\frac {\sin C}{c}}\! } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

D er lig med diameteren af trekantens omkreds.

Hvad betyder formlen?

Sinusloven siger, at forholdet mellem en sides længde og sinus til den modstående vinkel er det samme for alle tre sider i en trekant. Det vil sige:

  • a / sin A = b / sin B = c / sin C = D, hvor D er trekantens omskrevne cirkels diameter.
  • Ofte skriver man også forholdet som a = D · sin A eller a / sin A = 2R, hvor R er omskrivningscirklens radius (R = D/2).

Hvor kommer det fra? (Bevis-idé)

En kort idé til beviset bruger omskrivningscirklen: Vinklen A subtenderer buen over siden a på omskrivningscirklen, og ved brug af centrale vs. indskrevne vinkler kan man vise, at a = 2R sin A. Tilsvarende gælder for b og c, hvor R er samme omskrivningsradius for trekanten. Dividerer man med sin A, sin B og sin C fås derfor samme værdi 2R, hvilket giver sinusloven.

Anvendelser — hvordan løser man en trekant

Sinusloven bruges typisk til at bestemme ukendte sider eller vinkler i en trekant. De almindelige situationskategorier er:

  • ASA (vinkel-side-vinkel) eller AAS (vinkel-vinkel-side): Når to vinkler og en side er kendt, kan man finde den tredje vinkel (summen er 180°) og derefter de resterende sider med sinusloven.
  • SSA (side-side-vinkel): To sider og en vinkel, som ikke ligger imellem de givne sider — dette er det såkaldte tvetydige tilfælde (se afsnit nedenfor).
  • SSS (side-side-side): Når alle tre sider er kendt er loven om cosinus ofte mere direkte anvendelig, men sinusloven kan bruges til at finde vinkler efter først at bestemme én vinkel via cosinusloven.

Eksempel

Givet A = 50°, B = 60° og a = 10. Først findes C = 180° − A − B = 70°. Derefter:

  • b = a · sin B / sin A = 10 · sin(60°) / sin(50°) ≈ 10 · 0.8660 / 0.7660 ≈ 11,30
  • c = a · sin C / sin A = 10 · sin(70°) / sin(50°) ≈ 10 · 0.9397 / 0.7660 ≈ 12,27

Tvetydigt tilfælde (SSA)

Når man kender to sider og en af vinklerne der ikke ligger imellem dem (SSA), kan der være 0, 1 eller 2 mulige trekanter, fordi ligningen sin x = k kan have to løsninger i intervallet (0°,180°): x og 180°−x. En praktisk regel er:

  • Lad den givne vinkel være A, modstående side a, og den anden kendte side b. Bestem højden h = b · sin A.
  • Hvis a < h: ingen løsning (ingen trekant med disse data).
  • Hvis a = h: én løsning (retvinklet trekant, A er akut og den anden vinkel bliver 90°).
  • Hvis h < a < b: to løsninger (tvetydigt tilfælde: én med den modstående vinkel < 90° og én med den modstående vinkel > 90°).
  • Hvis a ≥ b: én løsning (kun én mulig konfiguration).

Numeriske hensyn

Ved beregninger med sinusloven kan man støde på numeriske problemer hvis en vinkel er meget lille eller meget tæt på 0° eller 180° (sinus bliver meget lille) — dele med et lille tal forstærker afrundingsfejl. Ligeledes kan bestemmelse af vinkler via inverse sinus (arcsin) give tvetydigheder mellem en akut og en stump vinkel. I praksis anbefales:

  • Brugning af dobbeltpræcision i beregninger for at reducere afrundingsfejl.
  • Kontrol af plausibilitet (summen af vinkler skal være 180° og side-længder positive).
  • Ved næsten retvinklede situationer kan det være numerisk mere stabilt at bruge cosinusloven eller direkte trigonometriske relationer.

Sammenhæng med cosinusloven

Sinusloven er særlig praktisk når man har vinkler og modstående sider (ASA, AAS, SSA). Cosinusloven bruges ofte, når man kender to sider og den mellemliggende vinkel (SAS) eller alle tre sider (SSS) og vil beregne en vinkel. Begge love supplerer hinanden i trekantsberegning.

Kort opsummering: Sinusloven forbinder sider med deres modstående vinklers sinus og er tæt forbundet med trekantens omskrevne cirkel via a = 2R sin A. Den er et af de vigtigste værktøjer til at løse generelle (skalene) trekanter.

En trekant mærket med de bogstaver, der er nødvendige for denne forklaring. A, B og C er vinklerne. a er den side, der ligger over for A . b er den side, der ligger over for B . c er den side, der ligger over for C.Zoom
En trekant mærket med de bogstaver, der er nødvendige for denne forklaring. A, B og C er vinklerne. a er den side, der ligger over for A . b er den side, der ligger over for B . c er den side, der ligger over for C.

Bevis

Arealet T {\displaystyle T}{\displaystyle T} af en trekant kan skrives som halvdelen af basen gange højden (ud fra det toppunkt, der ikke ligger på basen). Afhængigt af hvilken side man vælger som basis, kan arealet være givet ved

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}}a(b\sin C)\,. } {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.}

Ved at gange disse med 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}{\displaystyle 2/abc} fås

2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {\frac {2T}{abc}}}={\frac {\frac {\sin A}{a}}}={\frac {\frac {\sin B}{b}}}={\frac {\sin C}{c}}}}\,. } {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.}

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er loven om sinus?


A: Sinusloven, også kendt som sinusreglen, er en sætning i matematik, som siger, at hvis man har en trekant som den på billedet, så vil en ligning være sand.

Spørgsmål: Hvad siger denne ligning?


Svar: Denne ligning siger, at forholdet mellem hver sidelængde og den modsatte vinklers sinusværdi vil være lig med hinanden.

Spørgsmål: Hvordan bruges den?


A: Sinusloven kan bruges til at finde de resterende sider i en trekant, når to vinkler og en side er kendt. Den kan også bruges, når to sider og en af de vinkler, der ikke er omsluttet af disse to sider, er kendt.

Spørgsmål: Hvad sker der i et tvetydigt tilfælde?


Svar: I nogle tilfælde giver formlen to mulige værdier for den omsluttede vinkel. Dette kaldes et tvetydigt tilfælde.

Spørgsmål: Hvordan er den sammenlignet med andre trigonometriske ligninger?


A: Sinusloven er en af to trigonometriske ligninger, som bruges til at finde længder og vinkler i scalene trekanter. Den anden er loven for cosinus.

Spørgsmål: Hvad er D lig med? Svar: D er lig med diameteren af trekantens omkreds.


Søge
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3