Sinusreglen eller sinusloven er en sætning i matematik. Den siger, at hvis man har en trekant som den på billedet, er nedenstående ligning sand.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}}\,=\,D\! } 
Dette er en anden version, som også er sand.
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\frac {\sin A}{a}}}\,=\,{\frac {\frac {\sin B}{b}}}\,=\,{\frac {\frac {\sin C}{c}}\! } 
D er lig med diameteren af trekantens omkreds.
Hvad betyder formlen?
Sinusloven siger, at forholdet mellem en sides længde og sinus til den modstående vinkel er det samme for alle tre sider i en trekant. Det vil sige:
- a / sin A = b / sin B = c / sin C = D, hvor D er trekantens omskrevne cirkels diameter.
- Ofte skriver man også forholdet som a = D · sin A eller a / sin A = 2R, hvor R er omskrivningscirklens radius (R = D/2).
Hvor kommer det fra? (Bevis-idé)
En kort idé til beviset bruger omskrivningscirklen: Vinklen A subtenderer buen over siden a på omskrivningscirklen, og ved brug af centrale vs. indskrevne vinkler kan man vise, at a = 2R sin A. Tilsvarende gælder for b og c, hvor R er samme omskrivningsradius for trekanten. Dividerer man med sin A, sin B og sin C fås derfor samme værdi 2R, hvilket giver sinusloven.
Anvendelser — hvordan løser man en trekant
Sinusloven bruges typisk til at bestemme ukendte sider eller vinkler i en trekant. De almindelige situationskategorier er:
- ASA (vinkel-side-vinkel) eller AAS (vinkel-vinkel-side): Når to vinkler og en side er kendt, kan man finde den tredje vinkel (summen er 180°) og derefter de resterende sider med sinusloven.
- SSA (side-side-vinkel): To sider og en vinkel, som ikke ligger imellem de givne sider — dette er det såkaldte tvetydige tilfælde (se afsnit nedenfor).
- SSS (side-side-side): Når alle tre sider er kendt er loven om cosinus ofte mere direkte anvendelig, men sinusloven kan bruges til at finde vinkler efter først at bestemme én vinkel via cosinusloven.
Eksempel
Givet A = 50°, B = 60° og a = 10. Først findes C = 180° − A − B = 70°. Derefter:
- b = a · sin B / sin A = 10 · sin(60°) / sin(50°) ≈ 10 · 0.8660 / 0.7660 ≈ 11,30
- c = a · sin C / sin A = 10 · sin(70°) / sin(50°) ≈ 10 · 0.9397 / 0.7660 ≈ 12,27
Tvetydigt tilfælde (SSA)
Når man kender to sider og en af vinklerne der ikke ligger imellem dem (SSA), kan der være 0, 1 eller 2 mulige trekanter, fordi ligningen sin x = k kan have to løsninger i intervallet (0°,180°): x og 180°−x. En praktisk regel er:
- Lad den givne vinkel være A, modstående side a, og den anden kendte side b. Bestem højden h = b · sin A.
- Hvis a < h: ingen løsning (ingen trekant med disse data).
- Hvis a = h: én løsning (retvinklet trekant, A er akut og den anden vinkel bliver 90°).
- Hvis h < a < b: to løsninger (tvetydigt tilfælde: én med den modstående vinkel < 90° og én med den modstående vinkel > 90°).
- Hvis a ≥ b: én løsning (kun én mulig konfiguration).
Numeriske hensyn
Ved beregninger med sinusloven kan man støde på numeriske problemer hvis en vinkel er meget lille eller meget tæt på 0° eller 180° (sinus bliver meget lille) — dele med et lille tal forstærker afrundingsfejl. Ligeledes kan bestemmelse af vinkler via inverse sinus (arcsin) give tvetydigheder mellem en akut og en stump vinkel. I praksis anbefales:
- Brugning af dobbeltpræcision i beregninger for at reducere afrundingsfejl.
- Kontrol af plausibilitet (summen af vinkler skal være 180° og side-længder positive).
- Ved næsten retvinklede situationer kan det være numerisk mere stabilt at bruge cosinusloven eller direkte trigonometriske relationer.
Sammenhæng med cosinusloven
Sinusloven er særlig praktisk når man har vinkler og modstående sider (ASA, AAS, SSA). Cosinusloven bruges ofte, når man kender to sider og den mellemliggende vinkel (SAS) eller alle tre sider (SSS) og vil beregne en vinkel. Begge love supplerer hinanden i trekantsberegning.
Kort opsummering: Sinusloven forbinder sider med deres modstående vinklers sinus og er tæt forbundet med trekantens omskrevne cirkel via a = 2R sin A. Den er et af de vigtigste værktøjer til at løse generelle (skalene) trekanter.
