Sinusrelation
Sinusreglen eller sinusloven er en sætning i matematik. Den siger, at hvis man har en trekant som den på billedet, er nedenstående ligning sand.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}}\,=\,D\! } 
Dette er en anden version, som også er sand.
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\frac {\sin A}{a}}}\,=\,{\frac {\frac {\sin B}{b}}}\,=\,{\frac {\frac {\sin C}{c}}}\! } 
D er lig med diameteren af trekantens omkreds.
Sinusloven bruges til at finde de resterende sider af en trekant, når to vinkler og en side er kendt. Dette er kendt som triangulering. Denne beregning kan dog have en numerisk fejl, hvis en vinkel er tæt på 90 grader. Sinusloven kan også anvendes, når to sider og en af de vinkler, der ikke er omsluttet af de to sider, er kendt. I nogle af disse tilfælde giver formlen to mulige værdier for den omsluttede vinkel. Dette kaldes et tvetydigt tilfælde.
Sinusloven er en af to trigonometriske ligninger, som bruges til at finde længder og vinkler i scalene trekanter. Den anden er loven om cosinus.
En trekant mærket med de bogstaver, der er nødvendige for denne forklaring. A, B og C er vinklerne. a er den side, der ligger over for A . b er den side, der ligger over for B . c er den side, der ligger over for C.
Bevis
Arealet T {\displaystyle T}
af en trekant kan skrives som halvdelen af basen gange højden (ud fra det toppunkt, der ikke ligger på basen). Afhængigt af hvilken side man vælger som basis, kan arealet være givet ved
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}}a(b\sin C)\,. } 
Ved at gange disse med 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}
fås
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {\frac {2T}{abc}}}={\frac {\frac {\sin A}{a}}}={\frac {\frac {\sin B}{b}}}={\frac {\sin C}{c}}}}\,. } 
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er loven om sinus?
A: Sinusloven, også kendt som sinusreglen, er en sætning i matematik, som siger, at hvis man har en trekant som den på billedet, så vil en ligning være sand.
Spørgsmål: Hvad siger denne ligning?
Svar: Denne ligning siger, at forholdet mellem hver sidelængde og den modsatte vinklers sinusværdi vil være lig med hinanden.
Spørgsmål: Hvordan bruges den?
A: Sinusloven kan bruges til at finde de resterende sider i en trekant, når to vinkler og en side er kendt. Den kan også bruges, når to sider og en af de vinkler, der ikke er omsluttet af disse to sider, er kendt.
Spørgsmål: Hvad sker der i et tvetydigt tilfælde?
Svar: I nogle tilfælde giver formlen to mulige værdier for den omsluttede vinkel. Dette kaldes et tvetydigt tilfælde.
Spørgsmål: Hvordan er den sammenlignet med andre trigonometriske ligninger?
A: Sinusloven er en af to trigonometriske ligninger, som bruges til at finde længder og vinkler i scalene trekanter. Den anden er loven for cosinus.
Spørgsmål: Hvad er D lig med? Svar: D er lig med diameteren af trekantens omkreds.
