Gaussisk eliminering

I matematik er Gaussisk eliminering (også kaldet rækkereduktion) en metode, der bruges til at løse systemer af lineære ligninger. Den er opkaldt efter Carl Friedrich Gauss, en berømt tysk matematiker, som skrev om denne metode, men ikke opfandt den.

For at udføre Gaussisk eliminering bruges koefficienterne af termerne i systemet af lineære ligninger til at skabe en type matrix kaldet en forstærket matrix. Derefter anvendes elementære rækkeoperationer til at forenkle matricen. De tre typer af rækkeoperationer, der anvendes, er:

Type 1: Udskiftning af en række med en anden række.

Type 2: Multiplikation af en række med et tal, der ikke er nul.

Type 3: Tilføjelse eller subtraktion af en række fra en anden række.

Målet med Gaussisk eliminering er at få matrixen i række-echelon form. Hvis en matrix er i række-ekkelonform, betyder det, at hver række starter med mindst ét nulterm mere end rækken over den, når man læser den fra venstre mod højre. Nogle definitioner af Gaussisk eliminering siger, at matrixresultatet skal være i reduceret række-echelon-form. Det betyder, at matricen er i række-echelonform, og at det eneste ikke-nul-term i hver række er 1. Gaussisk eliminering, der skaber et reduceret række-echelonmatriceresultat, kaldes undertiden Gauss-Jordan-eliminering.

Eksempel

Antag, at målet er at finde svarene på dette system af lineære ligninger.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Først skal systemet omdannes til en forstærket matrix. I en forstærket matrix bliver hver lineær ligning en række. På den ene side af den forstærkede matrix bliver koefficienterne for hvert udtryk i den lineære ligning til tal i matrixen. På den anden side af den forstærkede matrix er de konstante termer, som hver lineær ligning er lig med. For dette system er den forstærkede matrix følgende:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Derefter kan der foretages rækkeoperationer på den forstørrede matrix for at forenkle den. Nedenstående tabel viser rækkereduktionsprocessen på ligningssystemet og på den forstørrede matrix.

System af ligninger	Operationer i rækker	Forstærket matrix
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&&\;=\;&&8&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y&&&\;-&&&\;z&&&\;=\;&&8&&\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1/2&1\\\\0&2&1&1&5\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1/2&1/2&1\\0&0&0&-1&1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matriklen er nu i række-ekkelon-form. Dette kaldes også trekantet form.

System af ligninger	Operationer i rækker	Forstærket matrix
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&&\&&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}}R_{3}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&1&0&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\\0&0&0&-1&1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\;&&&&\;\;\;&&=\;&&7&&\\&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 0 7 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&0&7\\0&1&1&0&0&3\0&0&1&1&-1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{2}}}R_{1}\rightarrow R_{1}}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&0&2\\0&1&1&0&0&3\0&0&0&1&-1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matriksen er nu i reduceret række-echelon-form. Når vi læser denne matrix, kan vi se, at løsningerne for dette ligningssystem opstår, når x = 2, y = 3 og z = -1.

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er Gaussisk eliminering?

A: Gaussisk eliminering er en metode, der anvendes i matematik til at løse systemer af lineære ligninger.

Spørgsmål: Hvem er den opkaldt efter?

A: Den er opkaldt efter Carl Friedrich Gauss, en berømt tysk matematiker, som skrev om denne metode, men ikke opfandt den.

Spørgsmål: Hvordan udføres Gauss-eliminering?

Svar: Gauss-eliminering udføres ved at bruge koefficienterne for termerne i systemet af lineære ligninger til at skabe en forstærket matrix. Derefter anvendes elementære rækkeoperationer til at forenkle matricen.

Spørgsmål: Hvilke tre typer rækkeoperationer anvendes i Gaussisk eliminering?

Svar: De tre typer rækkeoperationer, der anvendes i Gaussisk eliminering, er følgende: Udveksling af en række med en anden række, multiplikation af en række med et tal, der ikke er nul, og tilføjelse eller subtraktion af en række fra en anden række.

Sp: Hvad er målet med Gaussisk eliminering?

Svar: Målet med Gaussisk eliminering er at få matricen i række-echelonform.

Spørgsmål: Hvad er række-echelonform?

Svar: Hvis en matrix er i række-ekkelonform, betyder det, at hver række, når man læser fra venstre mod højre, starter med mindst ét nulterm mere end rækken over den.

Sp: Hvad er reduceret række-echelonform?

Svar: Reduceret række-echelonform betyder, at matricen er i række-echelonform, og at den eneste term i hver række, der ikke er nul, er 1. Gauss-eliminering, der skaber et resultat med en reduceret række-echelonmatrix, kaldes undertiden Gauss-Jordan-eliminering.