Konjugerede variabler er par af fysiske størrelser, hvis tilhørende operatorer ikke kan byttes om uden at ændre resultatet. I kvantemekanikken betyder det, at rækkefølgen af to operatorer har betydning: QP er i almindelighed ikke lig med PQ. Her bruges ikke stjernen (*) til almindelig talmultiplikation, men som notation for sammensætning eller produkt af operatorer (matricer eller lineære operatorer på et Hilbert-rum).
Hvad menes konkret?
Heisenberg og hans kolleger brugte i 1920'erne matematiske redskaber fra klassisk fysik og udviklede dem til en ny beskrivelse af mikroskopiske systemer. De opdagede blandt andet, at positionen (Q) og bevægelsesmængden (impulsen, P, ofte skrevet som masse gange hastighed) opfører sig som et sådant ikke-kommutativt par: rækkefølgen af målingerne/operationerne spiller en rolle.
Matematisk udtryk: kommutatoren
Det mål, man bruger for at beskrive forskellen mellem QP og PQ, kaldes kommutatoren og defineres som
[Q,P] = QP − PQ.
For position og momentum gælder den velkendte kanoniske kommutationsrelation
[Q,P] = iħ I,
hvor i er den imaginære enhed, ħ (udtales "h-bar") er Plancks reducerede konstant ħ = h / (2π), og I er identitetsoperatoren. Relationens form viser, at kommutatoren ikke er nul — derfor er Q og P konjugerede.
Bemærk: i den oprindelige historiske udvikling optrådte forskellige skrivemåder (f.eks. med h i stedet for ħ). Den korte, moderne form er dog med ħ.
Konsekvenser: usikkerhedsprincippet
Den kanoniske kommutationsrelation fører direkte til Heisenbergs usikkerhedsprincip, som sætter en fundamental grænse for, hvor præcist man samtidig kan kende position og impuls. For standardafvigelserne ΔQ og ΔP gælder
ΔQ · ΔP ≥ ħ / 2.
Det betyder ikke blot praktiske måleproblemer — det er et grundlæggende træk ved naturen i kvantemekanikken: små systemer kan ikke have samtidig skarpt definerede værdier af begge størrelser.
Repræsentationer og eksempler
I positionsrepræsentationen kan man vælge Q som "multiplikationsoperator" (Qψ(x) = x ψ(x)) og impulsen som differentialoperator
P = − i ħ d/dx.
Indsættes disse operatorer i kommutatoren, giver det netop [Q,P] = iħ I. I matrixmekanikken repræsenteres Q og P af matriser, og produktet QP svarer til matrixmultiplikation, som i almindelighed ikke er kommutativ.
Konjugerede størrelser findes overalt i fysikken: ud over position–impuls kan man også tale om fx vinkel–vinkelmoment eller energi–tid i visse kontekster (men bemærk, at tid er et særligt tilfælde og ikke altid repræsenteres af en operator på samme måde som de andre størrelser).
Historisk note
Werner Heisenberg var central i udviklingen af matrixmekanikken, og hans arbejde blev videreudviklet af bl.a. Max Born og Pascual Jordan, som fandt den matematiske fortolkning i form af ikke-kommutative matriser og kommutatorer. Born indså betydningen af ikke-kommutativiteten og bidrog til at formulere de kanoniske relationer, som i dag er standard i kvanteteorien.
Her er to specielle ligninger til at beregne energien af en elektron (den lille grønne tingest) i et brintatom.
Den første ligning kan bruges til at finde ud af produktet af impuls og position:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
Den anden ligning kan bruges til at beregne produktet af position og impuls:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Afsluttende bemærkning
At variabler er konjugerede i kvantemekanikken betyder altså, at deres tilhørende operatorer ikke kommuterer. Det er ikke en matematisk kuriositet, men et nøgletrin til nogle af kvantemekanikkens mest grundlæggende og målebare konsekvenser — især usikkerhedsprincippet — og det afspejler en dyb forskel mellem klassisk og kvantemekanisk beskrivelse af naturen.
[Symbolet Q betegner positionens operator/matrix, P impulsen, i er et komplekst tal, og h er Plancks konstant; ofte bruger man den reducerede konstant ħ = h / (2π) i de fleste udtryk.]
Konjugerede variabler anvendes overalt i fysik, i kemi og på en række andre videnskabelige områder.