Kombineret gaslov: Sammenhængen mellem tryk, volumen og temperatur

Boyles lov siger, at tryk-volumenproduktet er konstant:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charles' lov viser, at rumfanget er proportionalt med den absolutte temperatur:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\frac {V}{T}}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussacs lov siger, at trykket er proportionalt med den absolutte temperatur:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

hvor P er trykket, V er volumenet og T er den absolutte temperatur for en ideal gas.

Ved at kombinere (1) og enten (2) eller (3) kan vi få en ny ligning med P, V og T. Hvis vi dividerer ligning (1) med temperaturen og multiplicerer ligning (2) med trykket, får vi:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {\frac {PV}{T}}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {\frac {PV}{T}}}=k_{2}(P)P}} .

Da venstre side i begge ligninger er den samme, får vi følgende

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {\frac {k_{1}(T)}{T}}}=k_{2}(P)P}} ,

hvilket betyder, at

P V T = konstant {\displaystyle {\frac {\frac {PV}{T}}}={\textrm {konstant}}}} .

Ved at indsætte Avogadros lov får man den ideelle gasligning.

En afledning af den kombinerede gaslov, der kun anvender elementær algebra, kan indeholde overraskelser. Hvis man f.eks. tager udgangspunkt i de tre empiriske love

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\!}           (1) Gay-Lussacs lov, volumen antaget konstant

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}           (2) Charles' lov, trykket antages at være konstant

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\!}           (3) Boyles lov, temperaturen antages at være konstant

hvor k_V , k_P og k_T er konstanterne, kan man gange de tre sammen for at få

P V P V = k V T k P T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!}

Hvis man tager kvadratroden af begge sider og dividerer med T, ser det ud til at give det ønskede resultat

P V T = k P k k V k T {\displaystyle {\frac {\frac {PV}{T}}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}\,\!}

Hvis man imidlertid, før man anvender ovenstående procedure, blot omarrangerer termerne i Boyles lov, k_T = PV, så får man efter annullering og omarrangeringen følgende

k T k V k k P = T 2 {\displaystyle {\frac {\frac {k_{T}}}{k_{V}k_{P}}}}=T^{2}\,\!}

hvilket ikke er særlig nyttigt, hvis ikke vildledende.

En fysisk udledning, der er længere, men mere pålidelig, begynder med at indse, at den konstante volumenparameter i Gay-Lussacs lov vil ændre sig, når systemets volumen ændres. Ved et konstant volumen V₁ kan loven se ud som P = k₁ T, mens den ved et konstant volumen V₂ kan se ud som P = k₂ T. Ved at betegne dette "variable konstante volumen" med k_V (V) omskrives loven som

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\!}           (4)

Samme betragtning gælder for konstanten i Charles' lov, som kan omskrives

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\!}           (5)

Når man søger at finde k_V (V), bør man ikke ubevidst eliminere T mellem (4) og (5), da P varierer i førstnævnte, mens det antages at være konstant i sidstnævnte. I stedet bør man først afgøre, i hvilken forstand disse ligninger er forenelige med hinanden. For at få indsigt i dette skal man huske på, at to vilkårlige variabler bestemmer den tredje. Hvis vi vælger P og V som uafhængige, kan vi forestille os, at T-værdierne danner en overflade over PV-planet. Et bestemt V₀ og P₀ definerer et T₀ , et punkt på denne overflade. Ved at indsætte disse værdier i (4) og (5) og omarrangere dem, får man følgende resultat

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) og T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}}{k_{V}(V_{0})}}\quad og\quad T_{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}}

Da de begge beskriver, hvad der sker i det samme punkt på overfladen, kan de to numeriske udtryk sættes lig med hinanden og omarrangeres

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}}{V_{0}}}}\,\!}           (6)

Bemærk, at

1/k_V (V₀ ) og 1/k_P (P₀ ) er hældningerne af ortogonale linjer parallelt med P-aksen/V-aksen og gennem det punkt på overfladen over PV-planet. Forholdet mellem hældningerne af disse to linjer afhænger kun af værdien af P₀ /V₀ i det pågældende punkt.

Bemærk, at den funktionelle form i (6) ikke afhænger af det valgte punkt. Den samme formel ville være opstået for enhver anden kombination af P- og V-værdier. Derfor kan man skrive

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}{V}}}\kvad \forall P,\forall V} (7)

Det betyder, at hvert punkt på overfladen har sit eget par ortogonale linjer, der går gennem det, og at deres hældningsforhold kun afhænger af det pågældende punkt. Mens (6) er en relation mellem specifikke hældninger og variable værdier, er (7) en relation mellem hældningsfunktioner og funktionsvariabler. Den gælder for ethvert punkt på overfladen, dvs. for enhver og alle kombinationer af P- og V-værdier. For at løse denne ligning for funktionen k_V (V) skal man først adskille variablerne, V til venstre og P til højre.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Vælg et vilkårligt tryk P₁ . Højre side evalueres til en vilkårlig værdi, kald den k_arb .

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{{\text{arb}}\,\!}           (8)

Denne særlige ligning skal nu være sand, ikke kun for én værdi af V, men for alle værdier af V. Den eneste definition af k_V (V), der garanterer dette for alle V og vilkårlige k_arb , er

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{{\text{arb}}}}{V}}}}} (9)

hvilket kan kontrolleres ved at erstatte (8).

Endelig kan man ved at indsætte (9) i Gay-Lussacs lov (4) og omarrangere den kombinerede gaslov

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {\frac {PV}{T}}}=k_{{\text{arb}}}\,\!}

Bemærk, at selv om Boyles lov ikke blev anvendt i denne udledning, kan den let udledes af resultatet. Generelt er to af de tre startlove alt, hvad der er nødvendigt i denne type afledninger - alle startpar fører til den samme kombinerede gaslov.

Den kombinerede gaslov kan bruges til at forklare mekanikken, hvor tryk, temperatur og volumen påvirkes. F.eks. klimaanlæg, køleskabe og dannelse af skyer, og den kan også anvendes i væskemekanik og termodynamik.

• Daltons lov