Bayes' teorem | viser sammenhængen mellem en betinget sandsynlighed og dens omvendte form

Formel

Den anvendte ligning er:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

Hvor:

• P(A) er den forudgående sandsynlighed eller marginale sandsynlighed for A. Den er "forudgående" i den forstand, at den ikke tager hensyn til nogen information om B.
• P(A|B) er den betingede sandsynlighed for A, givet B. Den kaldes også den efterfølgende sandsynlighed, fordi den er afledt af (eller afhænger af) den angivne værdi af B.
• P(B|A) er den betingede sandsynlighed for B givet A. Det kaldes også sandsynligheden.
• P(B) er den forudgående eller marginale sandsynlighed for B og fungerer som en normaliserende konstant.

I mange scenarier beregnes P(B) indirekte ved hjælp af formlen P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A c ) P ( A c ) {\displaystyle P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})} , som ganske enkelt siger, at sandsynligheden for B er summen af de betingede sandsynligheder baseret på, om A har fundet sted eller ej.

Eksempel

Et simpelt eksempel er følgende: Der er 40% chance for regn på søndag. Hvis det regner på søndag, er der 10 % chance for regn på mandag. Hvis det ikke regner søndag, er der 80 % chance for, at det regner mandag.

"Det regner på søndag" er begivenhed A, og "det regner på mandag" er begivenhed B.

• P( A ) = 0,40 = Sandsynligheden for regn på søndag.
• P( A` ) = 0,60 = Sandsynligheden for, at det ikke regner på søndag.
• P( B | A ) = 0,10 = Sandsynligheden for regn på mandag, hvis det regnede søndag.
• P( B` | A ) = 0,90 = Sandsynligheden for, at det ikke regner mandag, hvis det regnede søndag.
• P( B | A` ) = 0,80 = Sandsynligheden for regn på mandag, hvis det ikke regnede søndag.
• P( B` |A` ) = 0,20 = Sandsynligheden for, at det ikke regner mandag, hvis det ikke regnede søndag.

Det første, vi normalt ville beregne, er sandsynligheden for, at det regner på mandag: Dette ville være summen af sandsynligheden for "Regn på søndag og regn på mandag" og "Ingen regn på søndag og regn på mandag":

0.40 × 0.10 + 0.60 × 0.80 = 0.52 = 52 % {\displaystyle 0.40\ gange 0.10+0.60\ gange 0.80=0.52=52\%} chance

Men hvis vi blev bedt om at beregne sandsynligheden for, at det regnede om søndagen, hvis det regnede om mandagen, så er det her, Bayes' teorem kommer ind i billedet. Det giver os mulighed for at beregne sandsynligheden for en tidligere begivenhed i betragtning af resultatet af en senere begivenhed.

Den anvendte ligning er:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

I vores tilfælde er "Regn på søndag" begivenhed A, og "Regn på mandag" er begivenhed B.

• P(B|A) = 0,10 = Sandsynligheden for regn på mandag, hvis det regnede søndag.
• P(A) = 0,40 = Sandsynligheden for regn på søndag.
• P(B) = 0,52 = Sandsynligheden for regn på mandag.

Så for at beregne sandsynligheden for, at det regnede søndag, når det regnede mandag, bruger vi formlen:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

eller:

P ( A | B ) = 0,10 ∗ 0,40 0,52 = 0,0769 {\displaystyle P(A|B)={{\frac {0,10*0,40}{0,52}}= 0,0769}

Med andre ord, hvis det regnede i mandags, er der 7,69 % chance for, at det regnede i søndags.

Intuitiv forklaring

For at beregne sandsynligheden for, at det har regnet søndag, kan vi tage følgende skridt for at beregne sandsynligheden for, at det har regnet mandag:

• Vi ved, at det regnede i mandags. Derfor er den samlede sandsynlighed P(B).
• Sandsynligheden for, at det regnede i søndags, er P(A).
• Sandsynligheden for, at det regnede mandag, givet at det regnede søndag, er P(B|A).
• Sandsynligheden for at det regner søndag og mandag er P(A)*P(B|A).
• Derfor er den samlede sandsynlighed for, at det har regnet søndag, givet at det har regnet mandag, lig med sandsynligheden for, at det har regnet søndag og mandag divideret med den samlede sandsynlighed for, at det har regnet mandag.

Derfor,

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

En anden måde at se dette på, som viser, hvor Bayes' teorem kommer fra, er at se på sandsynligheden P(AB) for, at det regner både søndag og mandag. Dette kan beregnes på to forskellige måder, som giver det samme svar for P(AB):

P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) {\displaystyle P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)}

I denne henseende er Bayes' teorem blot en anden måde at skrive denne ligning på.

Relaterede sider

• Bayesiansk sandsynlighed
• Bayesiansk netværk