Kvadratroden af 2, eller den (1/2)-te potens af 2, i matematik skrevet som √2 eller 2​1⁄2, er det positive irrationelle tal, der, når det ganges med sig selv, er lig med tallet 2. For at være mere korrekt kaldes det den vigtigste kvadratrod af 2, for at adskille det fra den negative version af sig selv, som også er en kvadratrod af 2 (nemlig −√2).

Definition og enkel egenskab

Formelt er √2 det tal x ≥ 0, som opfylder x² = 2. Geometrisk set er kvadratroden af 2 længden af en diagonal på tværs af et kvadrat med sider med længden 1; dette kan findes ved hjælp af Pythagoras' sætning, idet diagonalens længde d opfylder d² = 1² + 1² = 2, altså d = √2.

Irrationel karakter — bevis

En vigtig egenskab ved √2 er, at det er irrationelt: det kan ikke udtrykkes som en brøk p/q med heltal p og q (med q ≠ 0). Et klassisk bevis ved modstrid går sådan:

  • Antag at √2 = p/q i brøkform, hvor p og q er hele tal uden fælles faktor (brøken er forkortet).
  • Så får vi p² = 2q², hvilket betyder, at p² er lige, og dermed at p er lige. Skriv p = 2k.
  • Indsættes p = 2k fås 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², så q² er lige og dermed q er lige.
  • Det følger, at både p og q er lige, hvilket står i modstrid med antagelsen om, at brøken var forkortet (ingen fælles faktor). Derfor kan √2 ikke være rational.

Decimaludvikling, kontinuerlige brøker og approximationer

Decimaludviklingen af √2 er ikke periodisk og begynder:

√2 ≈ 1.4142135623730950488…

Den simple kontinuerlige brøk for √2 er gentagen: √2 = [1; 2, 2, 2, …], dvs. en periodisk kontinuerlig brøk med perioden 2. Fra denne får man meget gode rationelle approksimationer (konvergenter):

  • 1 = 1
  • 3/2 = 1.5
  • 7/5 = 1.4
  • 17/12 ≈ 1.4166667
  • 41/29 ≈ 1.4137931
  • 99/70 ≈ 1.4142857

Disse brøker kommer også som løsninger til Pell-typen ligninger p² − 2q² = ±1, som producerer meget præcise heltalsløsninger til approximationer af √2.

Algebraiske og talteoretiske egenskaber

  • Algebraisk tal: √2 er et algebraisk tal af grad 2, fordi det er rod af det hele polynomium x² − 2 = 0. Det er altså ikke transcendent.
  • Talrummet: Tallet genererer det kvadratiske talfelt Q(√2). De hele tal i dette felt kan skrives som a + b√2 med a, b ∈ Q.
  • Pell-ligning: Minima-løsninger af p² − 2q² = 1 giver gode approksimationer p/q ≈ √2, og disse løsninger kan findes ved at bruge den periodiske kontinuerlige brøk for √2.

Geometrisk konstruktion og anvendelser

På en enheds-kvadrat er diagonalens længde √2, hvilket er centralt i geometri og konstruktion. Med passer og lineal kan man konstruere √2 ved at tegne en enheds-kvadrat og derefter dens diagonal. √2 optræder også i:

  • Beregningsmetoder for længder i retvinklede trekanter (Pythagoras).
  • Skaleringsfaktorer i arkitektur og design (fx kvadrater og diagonaler).
  • Signalbehandling og matematiske normer (f.eks. L2‑norm i euklidisk geometri).

Historie og perspektiv

Opdagelsen af irrationelle tal som √2 tilskrives ofte de gamle grækere/Pythagoræerne og var et vigtigt skridt i udviklingen af talbegribbet. At der findes tal, som ikke kan skrives som forholdet mellem to hele tal, ændrede fundamentalt opfattelsen af tal og geometri.

Opsummering

√2 er det positive tal, hvis kvadrat er 2. Det er irrationelt, algebraisk af grad 2, kan approksimeres meget præcist via kontinuerlige brøker og Pell-ligninger, og har en enkel geometrisk fortolkning som diagonalen i en enheds-kvadrat. Dets egenskaber gør det både teoretisk vigtigt i talteori og praktisk nyttigt i geometri og anvendt matematik.