Kvadratroden af 2: definition, irrationelle egenskaber og geometrisk betydning

Kvadratroden af 2 (√2): definition, bevis for irrationalitet og geometrisk betydning — forstå diagonalens længde i et enhedskvadrat og dens matematiske anvendelser.

Forfatter: Leandro Alegsa

28-12-2025 15:29

Kvadratroden af 2, eller den (1/2)-te potens af 2, i matematik skrevet som √2 eller $2 $ ^1⁄₂, er det positive irrationelle tal, der, når det ganges med sig selv, er lig med tallet 2. For at være mere korrekt kaldes det den vigtigste kvadratrod af 2, for at adskille det fra den negative version af sig selv, som også er en kvadratrod af 2 (nemlig −√2).

Definition og enkel egenskab

Formelt er √2 det tal x ≥ 0, som opfylder x² = 2. Geometrisk set er kvadratroden af 2 længden af en diagonal på tværs af et kvadrat med sider med længden 1; dette kan findes ved hjælp af Pythagoras' sætning, idet diagonalens længde d opfylder d² = 1² + 1² = 2, altså d = √2.

Irrationel karakter — bevis

En vigtig egenskab ved √2 er, at det er irrationelt: det kan ikke udtrykkes som en brøk p/q med heltal p og q (med q ≠ 0). Et klassisk bevis ved modstrid går sådan:

Antag at √2 = p/q i brøkform, hvor p og q er hele tal uden fælles faktor (brøken er forkortet).
Så får vi p² = 2q², hvilket betyder, at p² er lige, og dermed at p er lige. Skriv p = 2k.
Indsættes p = 2k fås 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², så q² er lige og dermed q er lige.
Det følger, at både p og q er lige, hvilket står i modstrid med antagelsen om, at brøken var forkortet (ingen fælles faktor). Derfor kan √2 ikke være rational.

Decimaludvikling, kontinuerlige brøker og approximationer

Decimaludviklingen af √2 er ikke periodisk og begynder:

√2 ≈ 1.4142135623730950488…

Den simple kontinuerlige brøk for √2 er gentagen: √2 = [1; 2, 2, 2, …], dvs. en periodisk kontinuerlig brøk med perioden 2. Fra denne får man meget gode rationelle approksimationer (konvergenter):

1 = 1
3/2 = 1.5
7/5 = 1.4
17/12 ≈ 1.4166667
41/29 ≈ 1.4137931
99/70 ≈ 1.4142857

Disse brøker kommer også som løsninger til Pell-typen ligninger p² − 2q² = ±1, som producerer meget præcise heltalsløsninger til approximationer af √2.

Algebraiske og talteoretiske egenskaber

Algebraisk tal: √2 er et algebraisk tal af grad 2, fordi det er rod af det hele polynomium x² − 2 = 0. Det er altså ikke transcendent.
Talrummet: Tallet genererer det kvadratiske talfelt Q(√2). De hele tal i dette felt kan skrives som a + b√2 med a, b ∈ Q.
Pell-ligning: Minima-løsninger af p² − 2q² = 1 giver gode approksimationer p/q ≈ √2, og disse løsninger kan findes ved at bruge den periodiske kontinuerlige brøk for √2.

Geometrisk konstruktion og anvendelser

På en enheds-kvadrat er diagonalens længde √2, hvilket er centralt i geometri og konstruktion. Med passer og lineal kan man konstruere √2 ved at tegne en enheds-kvadrat og derefter dens diagonal. √2 optræder også i:

Beregningsmetoder for længder i retvinklede trekanter (Pythagoras).
Skaleringsfaktorer i arkitektur og design (fx kvadrater og diagonaler).
Signalbehandling og matematiske normer (f.eks. L2‑norm i euklidisk geometri).

Historie og perspektiv

Opdagelsen af irrationelle tal som √2 tilskrives ofte de gamle grækere/Pythagoræerne og var et vigtigt skridt i udviklingen af talbegribbet. At der findes tal, som ikke kan skrives som forholdet mellem to hele tal, ændrede fundamentalt opfattelsen af tal og geometri.

Opsummering

√2 er det positive tal, hvis kvadrat er 2. Det er irrationelt, algebraisk af grad 2, kan approksimeres meget præcist via kontinuerlige brøker og Pell-ligninger, og har en enkel geometrisk fortolkning som diagonalen i en enheds-kvadrat. Dets egenskaber gør det både teoretisk vigtigt i talteori og praktisk nyttigt i geometri og anvendt matematik.

Kvadratroden af 2 er lig med længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med ben af længden 1

Bevis for, at kvadratroden af 2 ikke er rationel

Tallet 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ er ikke rationelt. Her er beviset.

Antag, at 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ er rationel. Der er altså nogle tal a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ , således at a/b = 2 {\displaystyle a/b={{\sqrt {2}}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Vi kan vælge a og b således, at enten a eller b er ulige. Hvis a og b begge var lige, kunne brøken forenkles (f.eks. i stedet for at skrive 2 4 {\displaystyle {\frac {\frac {2}{4}}}} ${\frac {2}{4}}$ kunne vi i stedet skrive 1 2 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{2}}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Hvis begge sider af ligningen kvadreres, får vi a² / b² = 2 og a² = 2 b² .
Den højre side er 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Dette tal er lige. Så venstre side må også være lige. Så a 2 {\displaystyle a^{2}}} $a^{2}$ er lige. Hvis et ulige tal kvadreres, vil resultatet være et ulige tal. Og hvis et lige tal kvadreres, vil et lige tal også være resultatet. Så et {\displaystyle a} er lige.
Fordi a er lige, kan det skrives som: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Ligningen fra trin 3 anvendes. Vi får 2b² = (2k)²
En eksponeringsregel kan bruges (se artiklen) - resultatet er 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Begge sider er divideret med 2. Så b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}} $b^{2}=2k^{2}$ . Det betyder, at b {\displaystyle b} $b$ er lige.
I trin 2 sagde vi, at a er ulige eller b er ulige. Men i trin 4 blev det sagt, at a er lige, og i trin 7 blev det sagt, at b er lige. Hvis den antagelse, vi gjorde i trin 1, er sand, så må alle disse andre ting være sande, men da de er uenige med hinanden, kan de ikke alle være sande; det betyder, at vores antagelse ikke er sand.

Det er ikke sandt, at 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ er et rationelt tal. Så 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}} ${\sqrt {2}}$ er irrationelt.

Søge