Kvadratrod af 2

Kvadratroden af 2, eller den (1/2)-te potens af 2, i matematik skrevet som √2 eller 2​1⁄2 , er det positive irrationelle tal, der, når det ganges med sig selv, er lig med tallet 2. For at være mere korrekt kaldes det den vigtigste kvadratrod af 2, for at adskille det fra den negative version af sig selv, hvor det også er tilfældet.

Geometrisk set er kvadratroden af 2 længden af en diagonal på tværs af et kvadrat med sider med længden 1; dette kan findes ved hjælp af Pythagoras' sætning.

Kvadratroden af 2 er lig med længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med ben af længden 1Zoom
Kvadratroden af 2 er lig med længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med ben af længden 1

Bevis for, at kvadratroden af 2 ikke er rationel

Tallet 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} er ikke rationelt. Her er beviset.

  1. Antag, at 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} er rationel. Der er altså nogle tal a , b {\displaystyle a,b}{\displaystyle a,b} , således at a/b = 2 {\displaystyle a/b={{\sqrt {2}}}}{\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} .
  2. Vi kan vælge a og b således, at enten a eller b er ulige. Hvis a og b begge var lige, kunne brøken forenkles (f.eks. i stedet for at skrive 2 4 {\displaystyle {\frac {\frac {2}{4}}}} {\displaystyle {\frac {2}{4}}}kunne vi i stedet skrive 1 2 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{2}}}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}} ).
  3. Hvis begge sider af ligningen kvadreres, får vi a2 / b2 = 2 og a2 = 2 b2 .
  4. Den højre side er 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} {\displaystyle 2b^{2}}. Dette tal er lige. Så venstre side må også være lige. Så a 2 {\displaystyle a^{2}}}{\displaystyle a^{2}} er lige. Hvis et ulige tal kvadreres, vil resultatet være et ulige tal. Og hvis et lige tal kvadreres, vil et lige tal også være resultatet. Så et {\displaystyle a}a er lige.
  5. Fordi a er lige, kan det skrives som: a = 2 k {\displaystyle a=2k}{\displaystyle a=2k} .
  6. Ligningen fra trin 3 anvendes. Vi får 2b2 = (2k)2
  7. En eksponeringsregel kan bruges (se artiklen) - resultatet er 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}} {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Begge sider er divideret med 2. Så b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}} {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. Det betyder, at b {\displaystyle b}{\displaystyle b} er lige.
  9. I trin 2 sagde vi, at a er ulige eller b er ulige. Men i trin 4 blev det sagt, at a er lige, og i trin 7 blev det sagt, at b er lige. Hvis den antagelse, vi gjorde i trin 1, er sand, så må alle disse andre ting være sande, men da de er uenige med hinanden, kan de ikke alle være sande; det betyder, at vores antagelse ikke er sand.

Det er ikke sandt, at 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} er et rationelt tal. Så 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}}{\displaystyle {\sqrt {2}}} er irrationelt.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3