Poincaréformodningen
Poincaré-konjekturen er et spørgsmål om kugler i matematikken. Den er opkaldt efter Henri Poincaré, den franske matematiker og fysiker, som formulerede den i 1904.
Kuglen (også kaldet 2-sfæren, da den er en 2-dimensionel overflade, selv om den normalt ses som inde i et tredimensionelt rum) har den egenskab, at enhver løkke på den kan sammentrækkes til et punkt (hvis en elastik er viklet rundt om kuglen, er det muligt at glide den ned til et punkt). Matematikere siger, at 2-sfæren er simpelt forbundet. Andre rum har ikke denne egenskab, f.eks. donuten: et elastikbånd, der går rundt om hele donuten én gang, kan ikke glide ned til et punkt, uden at det forlader overfladen.
Matematikere vidste, at denne egenskab var unik for 2-sfæren, i den forstand, at ethvert andet enkelt sammenhængende rum, der ikke har kanter og er lille nok (i matematisk forstand er det kompakt), faktisk er 2-sfæren. Det er dog ikke længere sandt, hvis vi fjerner ideen om småhed, da en uendelig stor flade også er simpelt forbundet. Også en regulær skive (en cirkel og dens indre) er simpelt forbundet, men den har en kant (den afgrænsende cirkel).
Formodningen spørger, om det samme gælder for 3-sfæren, som er et objekt, der naturligt lever i fire dimensioner. Dette spørgsmål har motiveret en stor del af den moderne matematik, især inden for topologi. Spørgsmålet blev endelig løst i 2002 af Grigori Perelman, en russisk matematiker, med metoder fra geometrien, som viste, at det faktisk er sandt. Han blev tildelt en Fields Medalje og Millenniumprisen på 1 million dollars for sit arbejde, som han begge afslog.
Poincarés formodning kan også udvides til at omfatte højere dimensioner: dette er den generaliserede Poincaréformodning. Overraskende nok var det nemmere at bevise dette faktum for kugler med højere dimensioner: I 1960 beviste Smale, at det var sandt for 5-sfæren, 6-sfæren og højere dimensioner. I 1982 beviste Freedman, at det også var sandt for 4-sfæren, hvilket han blev tildelt en Fields Medalje for.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er Poincaré-konjekturen?
Svar: Poincaré-konjekturen er et spørgsmål om kugler i matematikken, opkaldt efter Henri Poincaré, som spørger, om visse egenskaber ved 2-sfæren også gælder for 3-sfæren.
Spørgsmål: Hvilken egenskab har 2-sfæren?
Svar: 2-sfæren har den egenskab, at enhver løkke på den kan sammentrækkes til et punkt.
Spørgsmål: Er denne egenskab unik for 2-kuglen?
Svar: Denne egenskab er unik for 2-sfæren, når det gælder små rum, der ikke har kanter. En uendelig stor planet og en regulær skive (en cirkel og dens indre) er dog begge simpelt forbundet, men de har kanter.
Spørgsmål: Hvem beviste, at det var sandt for højere dimensionelle kugler?
A: I 1960 beviste Smale, at det var sandt for 5-sfærer, 6-sfærer og højere, og i 1982 beviste Freedman, at det også var sandt for 4-dimensionelle kugler.
Spørgsmål: Hvem løste Poincaré-konjekturen?
Svar: Poincaré-forestillingen blev løst af Grigori Perelman, en russisk matematiker, som brugte metoder fra geometrien til at vise, at den faktisk er sand.
Spørgsmål: Hvilke priser modtog Perelman for sit arbejde?
Svar: Perelman modtog en Fields Medalje og en Millenniumpris på 1 million dollars for sit arbejde med at løse Poincaré-konjekturen; han afslog dog begge priser.
