Interval (matematik) – definition, typer, notation og eksempler

Lær alt om intervaller i matematik: definition, åbne og lukkede typer, korrekt notation og tydelige eksempler med forklaringer og grafiske illustrationer.

Forfatter: Leandro Alegsa Oprettelsesdato: 20. april 2022 Seneste opdatering: 22. februar 2026

I matematik er et interval en sammenhængende mængde af tal på en tallinje, som indeholder alle tal mellem et begyndelses- og et sluttal. Et tal ligger i intervallet, hvis det er større end eller lig med begyndelsestallet (hvis dette er medtaget) og mindre end eller lig med sluttallet (hvis dette er medtaget). Begyndelses- og sluttal kan enten være inkluderet i intervallet eller udeladt.

Definition og grundidé

Et interval angiver derfor en kontinuerlig del af tallinjen. For eksempel beskriver intervallet fra 3,3 til 15 alle tal x, sådan at 3,3 ≤ x ≤ 15 (hvis intervallet er lukket i begge ender). I dette interval er tal som 4, 8, 9,5, 14 og 14,999 indeholdt, mens tal som -4, 2, 3,2, 20 og 15,000001 ikke er indeholdt.

Typer af intervaller

Lukket interval: [a, b] indeholder både endepunkterne a og b. (Alle x med a ≤ x ≤ b.)
Åbent interval: (a, b) indeholder hverken a eller b. (Alle x med a < x < b.)
Halvåbne / halv-lukkede intervaller: [a, b) indeholder a, men ikke b; (a, b] indeholder b, men ikke a.
Uendelige intervaller: bruges, når intervallet strækker sig uendeligt langt i én retning, fx (-∞, b), [a, ∞) eller (-∞, ∞) (hele talmængden).
Degenereret (enkelttals-) interval: [a, a] = {a} er et interval bestående af ét tal.
Tomt interval: Hvis man forsøger at skrive [a, b] med a > b, svarer det til den tomme mængde ∅ (ingen tal opfylder betingelsen).

Notation

Intervaller skrives typisk med kantede eller runde parenteser:

[ og ] betyder, at endepunktet er med i intervallet (inkluderende).
( og ) betyder, at endepunktet ikke er med i intervallet (ekskluderende).

Man kan også bruge mængdebeskrivende notation (set-builder): fx { x ∈ ℝ | a < x ≤ b } betyder "mængden af reelle tal x sådan at a < x ≤ b". For uendelige grænser anvendes symbolet ∞ (uendelighed), fx (-∞, 5) eller [0, ∞).

Eksempler

Intervaller skrevet med parenteser og klammer: (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4).
Intervallet [3,3, 15] (skrives korrekt som [3,3, 15]) indeholder blandt andet 4, 8, 9,5 og 14,999, men ikke 3,2 eller 15,000001.
Et enkeltpunkt: [7, 7] = {7}.
Uendeligt interval: [0, ∞) = alle ikke-negative reelle tal.

Yderligere bemærkninger

For at et interval [a, b] giver mening som "et interval med endepunkter a og b" kræves normalt a ≤ b. Hvis a > b er intervallet tomt.
Intervallets længde (eller mål) for et endeligt interval [a, b] er b − a. For åbne eller halvåbne intervaller med endepunkter a og b er længden stadig b − a.
Intervaller anvendes ofte i analyse, sandsynlighed og anvendt matematik til at beskrive domæner for funktioner, løsninger af uligheder og støtte for fordelinger.
Grafisk vises et interval på tallinjen som en sammenhængende streg; lukkede endepunkter markeres med fyldte punkter, åbne endepunkter med tomme cirkler.

Forskellige former for intervaller

Intervaller kan adskilles efter, hvordan de virker i deres ender. Intervaller kan være lukkede, åbne eller blandede.

Lukkede intervaller

Et lukket interval omfatter også begyndelsen og slutningen og har som regel formen [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} $[a,b]$ . Et lukket interval, der har 3 som begyndelse og 5,4 som slutning, vil omfatte 3, 5,4 og alle tal mellem 3 og 5,4. Hvis du vil skrive et lukket interval, skal du bruge firkantede parenteser ( [ og ] ). Et eksempel på et lukket interval er [136, 450].

Åbne intervaller

Et åbent interval omfatter hverken begyndelsen eller slutningen og har generelt form af ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Et åbent interval, der har 3 som begyndelse og 5 som slutning, vil omfatte alle tal mellem 3 og 5, men det vil ikke omfatte 3 eller 5. Hvis du vil skrive et åbent interval, skal du bruge parenteser ( ( og ) ). Et eksempel på et åbent interval er (2, 5).

Blandede intervaller

Et blandet interval er åbent i den ene ende og lukket i den anden ende og har generelt form af [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} $[a,b)$ (højreåbent interval) eller ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} $(a,b]$ (venstreåbent interval). Det betyder, at intervallet kan omfatte begyndelsen, men ikke slutningen, eller at det kan omfatte slutningen, men ikke begyndelsen. F.eks. vil intervallet [9, 23] omfatte 9, men ikke 23.

Relaterede sider

Affin aritmetik
Intervalaritmetik

Spørgsmål og svar

Spørgsmål: Hvad er et interval i matematik?

A: Et interval i matematik er en gruppe af tal, der omfatter alle tal mellem begyndelsen og slutningen.

Spørgsmål: Hvordan kan man bestemme, hvilke tal der ligger inden for et interval?

Svar: Tal, der er større end begyndelsestallet og mindre end sluttallet, er inden for intervallet, og tal, der er mindre end begyndelsestallet eller større end sluttallet, er ikke inden for intervallet.

Sp: Skal både begyndelses- og sluttal være med i et interval?

Svar: Begyndelses- og slutnummeret kan være inden for intervallet eller ej.

Spørgsmål: Hvordan skriver man et interval?

Svar: For at skrive et interval skal man skrive enten en firkantet parentes ( [ ) eller en parentes ( ( ), derefter skrive startnummeret, efterfulgt af et komma ( , ), derefter skrive slutnummeret, efterfulgt af enten en afsluttende firkantet parentes ( ] ) eller en afsluttende parentes ( ).

Spørgsmål: Kan du give eksempler på intervaller?

A: Eksempler på intervaller er (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4).

Spørgsmål: Er negative tal tilladt inden for et interval?

Svar: Ja, negative tal kan indgå i et interval.