Topologisk rum
Et topologisk rum er et rum, der studeres i topologi, matematikken om formers struktur. Groft sagt er det et sæt af ting (kaldet punkter) samt en måde at vide, hvilke ting der ligger tæt på hinanden.
Mere præcist har et topologisk rum en bestemt slags mængder, kaldet åbne mængder. Åbne mængder er vigtige, fordi de gør det muligt at tale om punkter i nærheden af et andet punkt, kaldet et punkts naboskab. Et naboskab til et punkt er simpelthen en åben mængde, der indeholder dette punkt. Hvis man ikke havde begrebet åbne mængder, kunne man ikke definere naboskaber på en god måde. Hvis man forsøger at definere et punkts naboskab som en hvilken som helst mængde, der indeholder dette punkt, vil det måske kun omfatte dette punkt og kun dette punkt, ikke nogen punkter i nærheden af det eller punkter langt væk. Vi har også begrebet lukkede mængder, som er et supplement til åbne mængder. Det vil sige, at alle de punkter, der ikke hører til et bestemt åbent sæt, udgør et lukket sæt.
Åbne sæt skal følge visse regler, så de passer til vores forestillinger om nærhed. Foreningen af et vilkårligt antal åbne mængder skal være åben, og foreningen af et endeligt antal lukkede mængder skal være lukket. (Den anden regel gælder kun for et endeligt antal lukkede mængder. Det skyldes, at i mange tilfælde er en mængde, der indeholder et enkelt punkt, lukket. Enhver mængde består af punkter. Hvis den anden regel gjaldt for et uendeligt antal lukkede mængder, ville alle mængder være lukkede). Som et specialtilfælde er den mængde, der indeholder ethvert punkt, både åben og lukket. En mængde, der ikke indeholder nogen punkter, er også både åben og lukket.
Der kan være mange forskellige definitioner af, hvad et åbent sæt af punkter er, og der kan være mange forskellige definitioner af, hvad et åbent sæt er. Man kan kun betragte visse mængder som åbne, eller flere mængder som åbne. Man kan endda betragte alle mængder som åbne. Den samme mængde med forskellige definitioner af åbne mængder danner forskellige topologiske rum.
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er et topologisk rum?
A: Et topologisk rum er et sæt punkter sammen med en måde at vide, hvilke ting der ligger tæt på hinanden. Det studeres inden for matematikken om formers struktur.
Spørgsmål: Hvad er åbne mængder?
A: Åbne mængder er vigtige, fordi de gør det muligt at tale om punkter i nærheden af et andet punkt, kaldet et punkts naboskab. De defineres som visse former for mængder, der kan bruges til at definere naboskaber på en god måde.
Spørgsmål: Hvad skal åbne mængder følge?
Svar: Åbne mængder skal følge visse regler, så de passer til vores forestillinger om nærhed. Foreningen af et vilkårligt antal åbne mængder skal være åben, og foreningen af et endeligt antal lukkede mængder skal være lukket.
Spørgsmål: Hvad er det særlige tilfælde for åbne og lukkede mængder?
Svar: Det særlige tilfælde for både åbne og lukkede mængder er, at den mængde, der indeholder alle punkter, både er åben og lukket, og at den mængde, der ikke indeholder nogen punkter, både er åben og lukket.
Spørgsmål: Hvordan påvirker forskellige definitioner topologiske rum?
Svar: Forskellige definitioner af, hvad et åbent sæt er, kan påvirke topologiske rum ved kun at betragte visse sæt som åbne eller flere end normalt, eller endog ved at betragte alle sæt som åbne.
Spørgsmål: Kan et uendeligt antal lukkede mængder danne en mængde?
Svar: Nej, hvis uendeligt mange lukkede mængder var tilladt, ville alle mængder blive betragtet som lukkede, da alle mængder kun består af punkter.
