Elastisk kollision

En-dimensional newtonsk

Betragt to partikler, der er angivet med subscripts 1 og 2. Lad m₁ og m₂ være masserne, u₁ og u₂ være hastighederne før kollisionen og v₁ og v₂ være hastighederne efter kollisionen.

Brug af impulsbevarelse til at skrive en formel

Da der er tale om et elastisk sammenstød, er den samlede impuls før sammenstødet det samme som den samlede impuls efter sammenstødet. Da impulsen (p) beregnes som

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Vi kan beregne impulsen før kollisionen til at være:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}}

og impulsen efter kollisionen til at være:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Hvis vi sætter de to ligninger lig hinanden, får vi vores første ligning:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}

Brug af energibevarelse til at skrive en anden formel

Den anden regel, vi bruger, er, at den samlede kinetiske energi forbliver den samme, hvilket betyder, at den oprindelige kinetiske energi er lig med den endelige kinetiske energi.

Formlen for kinetisk energi er:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {mv^{2}}}{2}}}}

Vi bruger altså de samme variabler som før: Den oprindelige kinetiske energi er:

m 1 u 1 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}}

Den endelige kinetiske energi er:

m 1 v 1 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}. }

De to er lige store (da den samlede kinetiske energi forbliver den samme):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}. }

Ved at sætte disse to ligninger sammen

Disse ligninger kan løses direkte for at finde v_i , når u_i er kendt, eller omvendt. Her er et eksempel på et problem, som kan løses ved hjælp af enten impulsbevarelse eller energibevarelse:

For eksempel:

Kugle 1: masse = 3 kg, v = 4 m/s

Kugle 2: masse = 5 kg, v = -6 m/s

Efter kollision:

Kugle 1: v = -8,5 m/s

Kugle 2: v = ukendt ( Vi repræsenterer den med v )

Brug af momentumbevarelse:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Efter at have foretaget multiplikation og derefter trukket 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} fra begge sider, får vi:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Ved at summere venstre side og dividere med 5 {\displaystyle 5} får vi:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {\frac {7,5}{5}}}=v} , og den sidste division giver os:   1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v}

Vi kunne også have løst dette problem ved hjælp af energibevarelse:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={{\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}}

3 ∗ 4 2 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 2 2 + 5 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}}{2}}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}}={\frac {3(-8,5)^{2}}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}

Ved at multiplicere begge sider med 2 {\displaystyle 2} , og derefter foretage alle de nødvendige multiplikationer, får vi:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Ved at lægge tallene til venstre sammen, trække 216,75 {\displaystyle 216,75} fra begge sider og dividere med 5 {\displaystyle 5} får vi:

  2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

Ved at tage kvadratroden af begge sider får vi svaret v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} .

Desværre er vi stadig nødt til at bruge impulsbevarelse til at finde ud af, om v {\displaystyle v} er positiv eller negativ.