Elastisk sammenstød: Definition, energibevarelse og impuls

Forstå elastiske sammenstød: definition, energibevarelse og impuls med klare forklaringer, eksempler og beregninger til at mestre perfekte kollisioner.

Forfatter: Leandro Alegsa

10-12-2025 21:43

En elastisk kollision er, når to objekter støder sammen og hopper tilbage med lille eller ingen deformation. F.eks. vil to gummibolde, der hopper sammen, være elastiske. To biler, der støder sammen, er uelastiske, da bilerne krøller sammen og ikke hopper tilbage. I et perfekt elastisk sammenstød (det enkleste tilfælde) går der ingen kinetisk energi tabt, og derfor er de to objekters kinetiske energi efter sammenstødet lig med deres samlede kinetiske energi før sammenstødet. Elastiske kollisioner forekommer kun, hvis der ikke sker nogen nettoomsætning af kinetisk energi til andre former (varme, lyd). Den anden regel, som man skal huske, når man arbejder med elastiske kollisioner, er, at impulsen bevares.

Hvad bevares ved et elastisk sammenstød?

Impuls (moment): Den samlede impuls bevares. For to partikler i én dimension: m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2, hvor u'er er hastigheder før og v'er efter sammenstødet.
Kinetisk energi: Den samlede kinetiske energi bevares i et perfekt elastisk sammenstød: ½m1·u1² + ½m2·u2² = ½m1·v1² + ½m2·v2².

Formler for to legemer i én dimension

For to objektter med masserne m1 og m2 og indledende hastigheder u1 og u2 giver bevarelserne af impuls og kinetisk energi følgende lukkede udtryk for hastighederne efter sammenstødet (v1, v2):

v1 = ((m1 - m2)/(m1 + m2))·u1 + (2·m2/(m1 + m2))·u2
v2 = (2·m1/(m1 + m2))·u1 + ((m2 - m1)/(m1 + m2))·u2

Et nyttigt alternativt udsagn (som følger af de to bevarelsesligninger) er, at den relative hastighed vender fortegn ved et elastisk sammenstød i én dimension:

v1 - v2 = −(u1 - u2)

Specialtilfælde og eksempler

To identiske masser (m1 = m2): De bytter simpelthen hastigheder. Hvis u2 = 0 (stille mål), overfører den bevægende masse al sin hastighed til den anden.
Kollision mellem kugler på et biljardbord: Næsten elastiske — littet tab sker pga. lyd, varme og friktion, men bevægelsesmængde og energi er nyttige tilnærmelser.
Gasmolekyler: I en ideel gas antages molekylære kollisioner ofte at være elastiske, hvilket er grundlaget for mange kinetiske gasteorier.

Koefﬁcient for restitution

Den praktiske måde at beskrive, hvor elastisk et sammenstød er, er koefﬁcienten for restitution e, defineret som forholdet mellem den relative hastighed efter og før sammenstødet langs normalretningen:

e = (v2 - v1)/(u1 - u2) for to legemer i én dimension. For et perfekt elastisk sammenstød er e = 1. For fuldstændig inelastisk kollision (de klæber sammen) er e = 0.

Flerdimensionelle kollisioner og CMS (centermassesystem)

For kollisioner i to eller tre dimensioner bevares både den totale impuls (vektor) og den totale kinetiske energi. Beregninger for spredningsvinkler og hastigheder bliver ofte enklere i centermassesystemet (CMS), hvor den samlede impuls er nul: i CMS reflekteres partiklernes hastigheder omhinanden ved et elastisk stød, mens deres størrelser bevares.

Begrænsninger i virkeligheden

Perfekt elastiske sammenstød er en idealisering. I praksis vil noget energi oftest blive omdannet til varme, lyd eller deformation.
Elastisk opførsel kræver, at materialets elastiske grænse ikke overskrides; overskrides den, opstår plastisk deformation og energi tabes.

Praktiske anvendelser

Modelering af partikelkollisioner i fysik og kemi (f.eks. gaskinetik).
Design og analyse af stød i mekaniske systemer og sport (f.eks. kugler i biljard).
Undervisning i bevarelser af impuls og energi — simple, beregnelige eksempler med to legemer.

Sammenfatning: Et elastisk sammenstød bevarer både impuls og kinetisk energi (i den ideelle, perfekte version). For to legemer i én dimension kan man bruge de ovenstående formler til direkte at beregne hastigheder efter sammenstødet, og i praksis er koefﬁcienten for restitution et nyttigt mål for, hvor tæt et reelt sammenstød er på at være elastisk.

Et eksempel på en elastisk kollision af ulige masser

En-dimensional newtonsk

Betragt to partikler, der er angivet med subscripts 1 og 2. Lad m₁ og m₂ være masserne, u₁ og u₂ være hastighederne før kollisionen og v₁ og v₂ være hastighederne efter kollisionen.

Brug af impulsbevarelse til at skrive en formel

Da der er tale om et elastisk sammenstød, er den samlede impuls før sammenstødet det samme som den samlede impuls efter sammenstødet. Da impulsen (p) beregnes som

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Vi kan beregne impulsen før kollisionen til at være:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

og impulsen efter kollisionen til at være:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Hvis vi sætter de to ligninger lig hinanden, får vi vores første ligning:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Brug af energibevarelse til at skrive en anden formel

Den anden regel, vi bruger, er, at den samlede kinetiske energi forbliver den samme, hvilket betyder, at den oprindelige kinetiske energi er lig med den endelige kinetiske energi.

Formlen for kinetisk energi er:

m v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {mv^{2}}}{2}}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Vi bruger altså de samme variabler som før: Den oprindelige kinetiske energi er:

m 1 u 1 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Den endelige kinetiske energi er:

m 1 v 1 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

De to er lige store (da den samlede kinetiske energi forbliver den samme):

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Ved at sætte disse to ligninger sammen

Disse ligninger kan løses direkte for at finde v_i , når u_i er kendt, eller omvendt. Her er et eksempel på et problem, som kan løses ved hjælp af enten impulsbevarelse eller energibevarelse:

For eksempel:

Kugle 1: masse = 3 kg, v = 4 m/s

Kugle 2: masse = 5 kg, v = -6 m/s

Efter kollision:

Kugle 1: v = -8,5 m/s

Kugle 2: v = ukendt ( Vi repræsenterer den med v )

Brug af momentumbevarelse:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Efter at have foretaget multiplikation og derefter trukket 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} $3*(-8.5)$ fra begge sider, får vi:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Ved at summere venstre side og dividere med 5 {\displaystyle 5} $5$ får vi:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {\frac {7,5}{5}}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , og den sidste division giver os: 1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v} $\ 1.5=v$

Vi kunne også have løst dette problem ved hjælp af energibevarelse:

m 1 u 1 2 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}={{\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 2 2 + 5 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}}{2}}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}}={\frac {3(-8,5)^{2}}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Ved at multiplicere begge sider med 2 {\displaystyle 2} $2$ , og derefter foretage alle de nødvendige multiplikationer, får vi:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Ved at lægge tallene til venstre sammen, trække 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ fra begge sider og dividere med 5 {\displaystyle 5} $5$ får vi:

2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Ved at tage kvadratroden af begge sider får vi svaret v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} $v=\pm 1.5$ .

Desværre er vi stadig nødt til at bruge impulsbevarelse til at finde ud af, om v {\displaystyle v} $v$ er positiv eller negativ.

Spørgsmål og svar

Q: Hvad er en elastisk kollision?

A: En elastisk kollision er, når to objekter kolliderer og hopper tilbage med lille eller ingen deformation.

Q: Hvad er et eksempel på en elastisk kollision?

A: To gummibolde, der hopper sammen, ville være et eksempel på en elastisk kollision.

Q: Hvad er en uelastisk kollision?

A: En uelastisk kollision er, når to genstande støder sammen og krøller sammen og ikke hopper tilbage.

Q: Hvad er et eksempel på en uelastisk kollision?

A: To biler, der rammer hinanden, ville være et eksempel på en uelastisk kollision.

Q: Hvad sker der i en perfekt elastisk kollision?

A: I en perfekt elastisk kollision går der ingen kinetisk energi tabt, og derfor er de to objekters kinetiske energi efter kollisionen lig med deres samlede kinetiske energi før kollisionen.

Q: Hvordan opstår elastiske kollisioner?

A: Elastiske kollisioner opstår kun, hvis der ikke er nogen nettoomdannelse af kinetisk energi til andre former som varme eller lyd.

Q: Hvad bevares i en elastisk kollision?

A: I en elastisk kollision bevares bevægelsesmængden.

Søge