Binomial ekspansion bruger et udtryk til at danne en serie. Den bruger et parentesudtryk som ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} 
. Der findes tre binomialudvidelser.
Definition og grundformel
Binomialteoremet beskriver, hvordan man udvider en potens af en sum af to led. For et helt ikke-negativt heltal n lyder formelen:
(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^{k},
hvor binomialkoefficienten
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
angiver, hvor mange måder man kan vælge k elementer fra en mængde med n elementer. Her er n! fakultet af n (n! = n·(n−1)·...·1) og definitionen gælder for 0 ≤ k ≤ n.
Eksempler
Et par simple udvidelser:
- (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
- (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.
- (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.
Numerisk eksempel: (2 + 3)^4 kan regnes ved først at udvide (x+y)^4 og så sætte x=2, y=3 eller direkte bruge summen af koefficienter gange passende potenser. Udvidelsen giver 16 + 4·8·3 + 6·4·9 + 4·2·27 + 81 = 625, som er 5^4, altså (2+3)^4.
Binomialkoefficienter og egenskaber
- Symmetri: \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.
- Sum af koefficienter: \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n (sæt x=y=1).
- Alternating sum: \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 for n ≥ 1 (sæt x=1, y=-1).
- Rekurrence (Pascals identitet): \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.
Binomialkoefficienterne kan også organiseres i Pascals trekant, hvor hver række svarer til koefficienterne i (x+y)^n.
Bevisidéer
Der er flere måder at bevise binomialteoremet på:
- Kombinatorisk bevis: Når man multiplicerer ud (x+y)^n = (x+y)(x+y)...(x+y) n gange, vælger hvert led enten x eller y. Antallet af gange man får præcis k gange y (og dermed n−k gange x) er \binom{n}{k} — derfor optræder x^{n-k} y^k med denne koefficient.
- Induktivt bevis: Man viser basistilfælde n=0 eller n=1, og antager for n−1 for så at bruge (x+y)^n = (x+y)(x+y)^{n-1} sammen med Pascals identitet for koefficienterne.
Generaliseret binomialteorem (ikke-heltalige eksponenter)
Binomialteoremet kan også udvides til reelle eller komplekse eksponenter a (ikke nødvendigvis heltal). For |x| < 1 gælder
(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k} x^{k},
hvor
\binom{a}{k} = \frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-k+1)}{k!}.
Denne række kaldes Newtons binomialrække og konvergerer for |x| < 1 (ved særlige a også i grænsetilfælde x = ±1 afhængigt af a). For a et ikke-negativt heltal standser rækken automatisk efter k = a, og man får den tidligere præcise binomialudvidelse.
Anvendelser
- Udregning af potenser af binomer uden at multiplicere manuelt n gange.
- Brug i kombinatorik, sandsynlighedsregning og statistik (f.eks. binomialfordelingen).
- Udvikling af Taylorserier og approksimationer (særligt Newtons række ved ikke-heltalige eksponenter).
- Algebraiske identiteter og løsning af polynomligninger.
Yderligere noter
Når man arbejder med symboler og variable, er det praktisk at bruge notationen \binom{n}{k} eller C(n,k). For store n kan man bruge logaritmer eller asymptotiske approksimationer (Stirlings formel) til at anslå koefficienterne. I computere og programmeringssprog findes ofte funktioner til direkte beregning af binomialkoefficienter uden at beregne store fakulteter for at undgå overflow.
