Binomialteoremet: Definition, formler og eksempler
Lær binomialteoremet: definition, formler og trin-for-trin eksempler. Forstå ekspansion, koefficienter og anvendelser med klare forklaringer og øvelser.
Binomial ekspansion bruger et udtryk til at danne en serie. Den bruger et parentesudtryk som ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} 
. Der findes tre binomialudvidelser.
Definition og grundformel
Binomialteoremet beskriver, hvordan man udvider en potens af en sum af to led. For et helt ikke-negativt heltal n lyder formelen:
(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^{k},
hvor binomialkoefficienten
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
angiver, hvor mange måder man kan vælge k elementer fra en mængde med n elementer. Her er n! fakultet af n (n! = n·(n−1)·...·1) og definitionen gælder for 0 ≤ k ≤ n.
Eksempler
Et par simple udvidelser:
- (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
- (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.
- (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.
Numerisk eksempel: (2 + 3)^4 kan regnes ved først at udvide (x+y)^4 og så sætte x=2, y=3 eller direkte bruge summen af koefficienter gange passende potenser. Udvidelsen giver 16 + 4·8·3 + 6·4·9 + 4·2·27 + 81 = 625, som er 5^4, altså (2+3)^4.
Binomialkoefficienter og egenskaber
- Symmetri: \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.
- Sum af koefficienter: \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n (sæt x=y=1).
- Alternating sum: \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 for n ≥ 1 (sæt x=1, y=-1).
- Rekurrence (Pascals identitet): \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.
Binomialkoefficienterne kan også organiseres i Pascals trekant, hvor hver række svarer til koefficienterne i (x+y)^n.
Bevisidéer
Der er flere måder at bevise binomialteoremet på:
- Kombinatorisk bevis: Når man multiplicerer ud (x+y)^n = (x+y)(x+y)...(x+y) n gange, vælger hvert led enten x eller y. Antallet af gange man får præcis k gange y (og dermed n−k gange x) er \binom{n}{k} — derfor optræder x^{n-k} y^k med denne koefficient.
- Induktivt bevis: Man viser basistilfælde n=0 eller n=1, og antager for n−1 for så at bruge (x+y)^n = (x+y)(x+y)^{n-1} sammen med Pascals identitet for koefficienterne.
Generaliseret binomialteorem (ikke-heltalige eksponenter)
Binomialteoremet kan også udvides til reelle eller komplekse eksponenter a (ikke nødvendigvis heltal). For |x| < 1 gælder
(1 + x)^a = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{a}{k} x^{k},
hvor
\binom{a}{k} = \frac{a(a-1)(a-2)\cdots(a-k+1)}{k!}.
Denne række kaldes Newtons binomialrække og konvergerer for |x| < 1 (ved særlige a også i grænsetilfælde x = ±1 afhængigt af a). For a et ikke-negativt heltal standser rækken automatisk efter k = a, og man får den tidligere præcise binomialudvidelse.
Anvendelser
- Udregning af potenser af binomer uden at multiplicere manuelt n gange.
- Brug i kombinatorik, sandsynlighedsregning og statistik (f.eks. binomialfordelingen).
- Udvikling af Taylorserier og approksimationer (særligt Newtons række ved ikke-heltalige eksponenter).
- Algebraiske identiteter og løsning af polynomligninger.
Yderligere noter
Når man arbejder med symboler og variable, er det praktisk at bruge notationen \binom{n}{k} eller C(n,k). For store n kan man bruge logaritmer eller asymptotiske approksimationer (Stirlings formel) til at anslå koefficienterne. I computere og programmeringssprog findes ofte funktioner til direkte beregning af binomialkoefficienter uden at beregne store fakulteter for at undgå overflow.
Formlerne
Der findes grundlæggende tre binomialformler:
| ( a + b ) = 2a +2 a 2b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}}=a^{2}+2ab+b^{2}}} |
| 1 (Plus) |
| ( a - b ) = 2a 2-2 a b + b {\displaystyle2 (a-b)^{2}}=a^{2}-2ab+b^{2}}} | 2. (Minus) | |
| ( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a2 - b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} | 3. (Plus-Minus) |
Vi kan forklare, hvorfor der findes 3 sådanne formler med en simpel udvidelse af produktet:
( a + b ) =2 ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ a + b ⋅ b = a +22 ⋅ a ⋅ b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}} 
( a - b ) =2 ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a -22 ⋅ a ⋅ a ⋅ b + b {{displaystyle2 (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}} 
( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2- b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}} 
Ved hjælp af Pascals trekant
Hvis n {\displaystyle n}
er et helt tal ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
), bruger vi Pascals trekant.
For at udvide ( x + y ) {\displaystyle2 (x+y)^{2}}
:
- finde række 2 i Pascals trekant (1, 2, 1)
- udvide x {\displaystyle x}
og y {\displaystyle y}, 
således at x {\displaystyle x} effekt falder med 1 hver gang fra n {\displaystyle n} til 0, og y {\displaystyle y} effekt stiger med 1 hver gang fra 0 til n {\displaystyle n} - gange tallene fra Pascals trekant med de rigtige udtryk.
Så ( x + y ) = 2x 1y2 +0 x2 y + x y 1+1 x 1y 0{\displaystyle2 (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}} 
For eksempel:
( +3 x2 ) = ⋅2132 ⋅ ⋅ ( x2 ) + ⋅ 0231⋅ ⋅ ⋅ 1130⋅ ( x22 ) =2 + 9x12 + x + x 4{\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot2 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}} 
Så som regel:
( x + y ) n = a x0 n y +0 a x1 n -1 y + 1a x2 n - 2y + 2⋯ + a n - 1x y 1n - 1+ a n x y 0n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} 
hvor a i {\displaystyle a_{i}}}
er tallet i række n {\displaystyle n} og position i {\displaystyle i}
i Pascals trekant.
Eksempler
( +5 x3 ) = ⋅3153 ⋅ ⋅ ( x3 ) + ⋅ 0352⋅ ⋅ 1⋅ ⋅351 ( x33 ) + ⋅ 2150⋅ ⋅ ( x3 ) {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}}3 
= + 12575⋅3 x +15 ⋅9 x + ⋅ x + 21⋅ 27x =3 + 125x225 + x + x 135+ 2x 27{\displaystyle3 =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}} 
( 5- 3x ) = ⋅3153 ⋅ ( -3 x ) + ⋅ 0352⋅ ⋅ ( - 3x ) + ⋅ 1351⋅ ⋅ ( -3 x ) + ⋅ 2150⋅ ⋅ ( - 3x ) {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}}3 
= +125 +75 ⋅ ( -3 x ) +15 ⋅ 9x +21 ⋅ x + ⋅ ( - 27x )3 = 125- 223x + x 1352-27 x {\displaystyle3 =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3}})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}} 
( +7 x4 )2 = ⋅ 5175⋅ ( x4 ) 2+ ⋅0574 ⋅ ⋅ ( x4 ) 2+ ⋅ 11073⋅ ⋅ ( x4 )2 + ⋅ 21072⋅ ⋅ ( x4 ) 2+ ⋅ 3571⋅ ⋅ ( x 4) 2+ ⋅ ⋅ 4170⋅ ( x4 ) 2{\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot5 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}} 
= + 1680712005⋅4 x +23430 ⋅16 x + 4490⋅ 64x +635 ⋅256 x + ⋅ x + 81⋅ 1024x {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}}10 
= +16807 x48020 +2 x + x 54880+ 4x31360 +6 x + x 8960+ 8x 1024{\displaystyle10 \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}} 
Spørgsmål og svar
Spørgsmål: Hvad er binomial ekspansion?
A: Binomial ekspansion er en matematisk metode, der bruger et udtryk til at skabe en serie ved hjælp af parentesudtrykket (x+y)^n.
Q: Hvad er det grundlæggende koncept bag binomial ekspansion?
A: Det grundlæggende koncept bag binomialekspansion er at ekspandere potensen af et binomialudtryk til en serie.
Spørgsmål: Hvad er et binomialudtryk?
A: Et binomialudtryk er et algebraisk udtryk, der indeholder to termer, som er forbundet med et plus- eller minustegn.
Sp: Hvad er formlen for binomialekspansion?
Svar: Formlen for binomialudvidelse er (x+y)^n, hvor n er eksponenten.
Spørgsmål: Hvor mange typer binomialudvidelser findes der?
Svar: Der findes tre typer binomialudvidelser.
Sp: Hvad er de tre typer binomialekspansioner?
Svar: De tre typer binomialudvidelser er - første binomialudvidelse, anden binomialudvidelse og tredje binomialudvidelse.
Spørgsmål: Hvordan er binomialekspansionen nyttig i matematiske beregninger?
A: Binomial ekspansion er nyttig i matematiske beregninger, da den hjælper med at forenkle komplicerede udtryk og løse komplekse problemer.
Søge